পূর্ববর্তী শ্রেণিতে ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ সম্পর্কে আলোচনা হয়েছে। আমরা ত্রিভুজ অঙ্কন করতে যেয়ে দেখেছি যে, একটি সুনির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকতে তিনটি পরিমাপের প্রয়োজন। স্বাভাবিকভাবেই প্রশ্ন জাগে একটি চতুর্ভুজ আঁকতে চারটি পরিমাপ যথেষ্ট কি না। বর্তমান অধ্যায়ে এ বিষয়ে আলোচনা করা হবে। তাছাড়া বিভিন্ন প্রকার চতুর্ভুজ যেমন সামান্তরিক, আয়ত, বর্গ, রম্বস এর বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এ অধ্যায়ে বিভিন্ন প্রকার চতুর্ভুজের এ সকল বৈশিষ্ট্য ও চতুর্ভুজ অঙ্কন বিষয়ে আলোচনা থাকবে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-

➤ চতুর্ভুজের ধর্মাবলি যাচাই ও যুক্তিমূলক প্রমাণ করতে পারবে।

➤ প্রদত্ত উপাত্ত হতে চতুর্ভুজ আঁকতে পারবে।

➤ ত্রিভুজ সূত্রের সাহায্যে চতুর্ভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে পারবে।

➤ আয়তাকার ঘনবস্তুর চিত্র আঁকতে পারবে।

➤ আয়তাকার ঘনবস্তু ও ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে পারবে।

চারটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি চতুর্ভুজ। চিত্র দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রটি একটি চতুর্ভুজক্ষেত্র।

চতুর্ভুজের চারটি বাহু আছে। যে চারটি রেখাংশ দ্বারা ক্ষেত্রটি আবদ্ধ হয়, এ চারটি রেখাংশই চতুর্ভুজের বাহু।

A, B, C ও D বিন্দু চারটির যেকোনো তিনটি সমরেখ নয়। AB, BC, CD ও DA রেখাংশ চারটি সংযোগে ABCD চতুর্ভুজ গঠিত হয়েছে। AB, BC, CD ও DA চতুর্ভুজটির চারটি বাহু। A, B, C ও D চারটি কৌণিক বিন্দু বা শীর্ষবিন্দু  ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA ও ∠DAB চতুর্ভুজের চারটি কোণ। A ও B শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে C ও D শীর্ষের বিপরীত শীর্ষবিন্দু। AB ও CD পরস্পর বিপরীত বাহু এবং AD ও BC পরস্পর বিপরীত বাহু। এক শীর্ষবিন্দুতে যে দুইটি বাহু মিলিত হয়, এরা সন্নিহিত বাহু। যেমন, AB ও BC বাহু দুইটি সন্নিহিত বাহু। AC ও BD রেখাংশদ্বয় ABCD চতুর্ভুজের দুইটি কর্ণ। চতুর্ভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে এর পরিসীমা বলে। ABCD চতুর্ভুজের পরিসীমা (AB + BC + CD + DA) এর দৈর্ঘ্যের সমান। চতুর্ভুজকে অনেক সময় ‘☐’ প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

সামান্তরিক : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল, তা সামান্তরিক। সামান্তরিকের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে সামান্তরিকক্ষেত্র বলে।

আয়ত : যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ, তাই আয়ত। আয়তের চারটি কোণ সমকোণ। আয়তের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে আয়তক্ষেত্র বলে।

রম্বস : রম্বস এমন একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। অর্থাৎ, রম্বসের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল এবং চারটি বাহু সমান। রম্বসের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে রম্বসক্ষেত্র বলে।

বর্গ : বর্গ এমন একটি আয়ত যার সন্নিহিত বাহুগুলো সমান। অর্থাৎ, বর্গ এমন একটি সামান্তরিক যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ এবং বাহুগুলো সমান। বর্গের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে বর্গক্ষেত্র বলে।

ট্রাপিজিয়াম : যে চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, একে ট্রাপিজিয়াম বলা হয়। ট্রাপিজিয়ামের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্র বলে।

ঘুড়ি : যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, একে ঘুড়ি বলা হয়।

বিভিন্ন প্রকারের চতুর্ভুজের কিছু সাধারণ ধর্ম রয়েছে । এ ধর্মগুলো উপপাদ্য আকারে প্রমাণ করা হলো।

উপপাদ্য ১

চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ৷

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি চতুর্ভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 4 সমকোণ।

অঙ্কন : A ও C যোগ করি । AC কর্ণটি চতুর্ভুজটিকে ∆ABC ও ∆ADC দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে।

প্ৰমাণ :

উপপাদ্য ২

সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক এবং

AC ও BD তার দুইটি কর্ণ । প্রমাণ করতে হবে যে,

(ক) AB বাহু = CD বাহু, AD বাহু = BC বাহু

(খ) ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC = ∠ADC

প্ৰমাণ :

কাজ :  ১ । প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তা একটি সামান্তরিক ২। দেওয়া আছে, ∠BCD চতুর্ভুজে AB = CD এবং ∠ABD = ∠BDC. প্রমাণ কর যে, ∠BCD একটি সামান্তরিক।

উপপাদ্য ৩

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO = CO, BO = DO

প্রমাণ :

উপপাদ্য ৪

আয়তের কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD আয়তের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে,

(i) AC = BD

(ii) AO = CO, BO = DO

প্ৰমাণ :

উপপাদ্য ৫

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD রম্বসের

AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। 

প্রমাণ করতে হবে যে,

(i) ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ

(ii) AO = CO, BO = DO

প্রমাণ :

সুতরাং ∠AOB = ∠BOC

∠AOB + ∠BOC = 1 সরলকোণ = 2 সমকোণ।

∠AOB = ∠BOC =1 সমকোণ।

অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে,

∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ (প্রমাণিত)

একটি চতুর্ভুজের একটি কর্ণ দ্বারা চতুর্ভুজক্ষেত্রটি দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত হয়। অতএব, চতুর্ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান। পূর্ববর্তী শ্রেণিতে আমরা বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে শিখেছি। আবার আয়ত ও সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতা একই হলেও উল্লিখিত ক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফল সমান। নিচে রম্বস ও ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়কৌশল নিয়ে আলোচনা করা হবে।

(ক) ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যেখানে AB ॥ CD, AB=a, CD=b এবং AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব =h 

C বিন্দু দিয়ে DAICE আঁকি।

∴ AECD একটি সামান্তরিক। চিত্র থেকে

ABCD ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AECD সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + CEB ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

      $=b\times h+\frac{1}{2}\left(a-b\right)\times h$

      $=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\times h$

(খ) রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে সহজেই রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে । কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যকে যথাক্রমে a ও b দ্বারা নির্দেশ করি।

রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = DAC ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + BAC ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

          $=\frac{1}{2}.a\times \frac{1}{2}b+\frac{1}{2}a\times \frac{1}{2}b$

          $=\frac{1}{2}a\times b$

বই, বাক্স, ইট, ফুটবল ইত্যাদি ঘনবস্তু। ঘনবস্তু আয়তাকার, বর্গাকার, গোলাকার ও অন্যান্য আকারের হতে পারে। ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে।

চিত্র-১ এর বস্তুটি আয়তাকার ঘনবস্তু। এর মোট ছয়টি আয়তাকার পৃষ্ঠ বা তল আছে যাদের প্রত্যেকটি একটি আয়তক্ষেত্র। পরস্পর বিপরীত পাশের পৃষ্ঠদ্বয় সমান ও সমান্তরাল। কাজেই পরস্পর বিপরীত পাশের দুইটি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল সমান। চিত্র-২ এর বস্তুটি বর্গাকার ঘনবস্তু। এর মোট ছয়টি পরস্পর সমান বর্গাকার পৃষ্ঠ বা তল আছে যাদের প্রত্যেকটি একটি বর্গক্ষেত্র। আবার, পরস্পর বিপরীত পৃষ্ঠদ্বয় সমান্তরাল। বর্গাকার ঘনবস্তুকে ঘনক (cube) বলা হয়। পরস্পর দুইটি করে পৃষ্ঠের ছেদ-রেখাংশকে ঘনকের ধার বা বাহু বলা হয়। ঘনকের সকল ধার বা বাহু পরস্পর সমান। কাজেই ঘনকের সকল পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল পরস্পর সমান।

ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় :

(ক) আয়তাকার ঘনবস্তু : একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, চিত্রানুসারে, ঘনবস্তুটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = {(ab ab) + (bc + bc) + (ac + + ac)} বর্গএকক = 2(ab + bc + ac) বর্গ একক (খ) ঘনক : একটি ঘনকের ধার a একক হলে, এর ছয়টি পৃষ্ঠের প্রতিটির ক্ষেত্রফল = a x a বর্গ একক = a² বর্গ একক । অতএব, ঘনকটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক।

উদাহরণ। একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 7.5 সে.মি., প্রস্থ 6 সে.মি ও উচ্চতা 4 সে.মি.। ঘনবস্তুটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : আমরা জানি, কোনো আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a একক, প্রস্থ b একক ও উচ্চতা c একক হলে, বস্তুটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 

=2(ab +bc +ac) বর্গ একক।

এখানে, a = 7.5 সে.মি., b = 6 সে.মি. এবং c = 4 সে.মি.

∴ প্রদত্ত আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল

= 2 (7.5 × 6 + 6 × 4 + 7.5 × 4) বর্গ সে.মি.

= 2(45 + 24 + 30) বর্গ সে.মি.

= 2 × 99 বর্গ সে.মি.

= 198 বর্গ সে.মি.

সম্পাদ্য

পূর্ববর্তী শ্রেণিতে আমরা জেনেছি, ত্রিভুজের তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে নির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকা যায়। কিন্তু চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলে নির্দিষ্ট কোনো চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য আরও উপাত্তের প্রয়োজন। চতুর্ভুজের চারটি বাহু, চারটি কোণ ও দুইটি কর্ণ, এই মোট দশটি উপাত্ত আছে। একটি চতুর্ভুজ আঁকতে পাঁচটি অনন্য নিরপেক্ষ উপাত্তের প্রয়োজন। যেমন, কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহু ও একটি নির্দিষ্ট কোণ দেওয়া থাকলে, চতুর্ভুজটি আঁকা যাবে।

নিম্নোক্ত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজটি আঁকা যায়।
     (ক) চারটি বাহু ও একটি কোণ
     (খ) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
     (গ) তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
     (ঘ) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
     (ঙ) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

অনেক সময় কম উপাত্ত দেওয়া থাকলেও বিশেষ চতুর্ভুজ আঁকা যায়। এক্ষেত্রে যুক্তি দ্বারা পাঁচটি উপাত্ত পাওয়া যায়।

• একটি বাহু দেওয়া থাকলে, বর্গ আঁকা যায়। এখানে চারটি বাহুই সমান এবং একটি কোণ সমকোণ।
• দুইটি সন্নিহিত বাহু দেওয়া থাকলে, আয়ত আঁকা যায়। এখানে বিপরীত বাহু দুইটি পরস্পর সমান এবং একটি কোণ সমকোণ।
• একটি বাহু এবং একটি কোণ দেওয়া থাকলে, রম্বস আঁকা যায়। এখানে চারটি বাহুই সমান।
• দুইটি সন্নিহিত বাহু এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে, সামান্তরিক আঁকা যায়। এখানে বিপরীত বাহু দুইটি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

সম্পাদ্য ১

কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

মনে করি, একটি চতুর্ভুজের চার বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c, d এবং a ও b বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ :

(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই । B বিন্দুতে ZEBF = ∠x আঁকি।

(2) BF থেকে BA = b নিই। A ও C কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c ও d এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এরা পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করে।

(৩) A ও D এবং C ও D যোগ করি। তাহলে, ∠BCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে,

AB = b, BC = a, AD = c, DC = d এবং ∠ABC = ∠x

∴ ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।

সম্পাদ্য ২

কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহু ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

মনে করি, একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c, d এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য e দেওয়া আছে, যেখানে a+  b > e এবং c + d > e চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ :

(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BD = e নিই। B ও D কে কেন্দ্ৰ করে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় A বিন্দুতে ছেদ করে।

(২) আবার, B ও D কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে d ও c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর যেদিকে A আছে তার বিপরীত দিকে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে ছেদ করে।

(৩) A3B, A ও D, B ও C এবং C ও D যোগ করি। তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = a, AD = b, BC = d, CD = c এবং 

কর্ণ BD = e 

সুতরাং, ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।

সম্পাদ্য ৩

কোনো চতুর্ভুজের তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

মনে করি, একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য d, e দেওয়া আছে, যেখানে a + b > e । চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ :

(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BD = e নিই। B ও D কে কেন্দ্ৰ করে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় A বিন্দুতে ছেদ করে।

(২) আবার, D ও A কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c ও d এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর যেদিকে A রয়েছে এর বিপরীত দিকে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করে।

(৩) A ও B A ও D, B ও C এবং C ও D যোগ করি।

তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = a, AD = b, CD = c

এবং কর্ণ BD = e ও AC = d

সুতরাং, ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।

সম্পাদ্য ৪

কোনো চতুর্ভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও দুইটি অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

মনে করি, একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহু a, b, c এবং a ও b বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x এবং a ও c বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠y দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই । B ও C বিন্দুতে ∠x ও y এর সমান করে যথাক্রমে ZCBF ও ZBCG অঙ্কন করি। 

BF থেকে BA = b এবং CG থেকে CD = c নিই । A, D যোগ করি। 

তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = b, BC = a, CD = c, 

∠ABC = ∠x ও ∠BCD = ∠y

সুতরাং ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।

সম্পাদ্য ৫

কোনো চতুর্ভুজের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য ও তিনটি কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

তিনটি কোণ ∠x, ∠y, ∠z দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই। ও C বিন্দুতে ∠x ও ∠y এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF ও ∠BCG অঙ্কন করি। BF থেকে BA = b নিই।

A বিন্দুতে ∠z এর সমান করে ∠BAH অঙ্কন করি। AH ও CG পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = b, BC = a, ∠ABC = ∠x ∠DCB = ∠y ও ∠BAD = 22 

সুতরাং, ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।

সম্পাদ্য ৬

কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।

মনে করি, একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু a ও b এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে 

অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই । B বিন্দুতে ZEBF = ∠x অঙ্কন করি। BF থেকে b এর সমান BA নিই। 

A ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এরা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে।

A, D ও C, D যোগ করি। তাহলে, ∠BCD ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

প্রমাণ : A, C যোগ করি। ∆ABC ও ∆ADC এ

AB = CD = b,

AD = BC = a এবং AC বাহু সাধারণ।

∴ ∆ABC = ∆ADC

অতএব, ∠BAC = ∠DCA কিন্তু, কোণ দুইটি একান্তর কোণ।

∴ AB || CD

অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, BC || AD

সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক।

আবার অঙ্কন অনুসারে ∠ABC = ∠X

অতএব, ABCD ই নির্ণেয় সামান্তরিক।

সম্পাদ্য ৭

কোনো বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে, বর্গটি আঁকতে হবে। 

মনে করি, a কোনো বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য। বর্গটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই । 

B বিন্দুতে BF ⊥ BC আঁকি। 

BF থেকে BA = a নিই। A ও C কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। 

বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে। A ও D এবং C ও D যোগ করি।

তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট বর্গ।

প্রমাণ : ABCD চতুর্ভুজের AB = BC = CD = DA = a

এবং ∠ABC = এক সমকোণ।

সুতরাং, এটি একটি বর্গ।

অতএব, ABCD ই নির্ণেয় বর্গ।